Quadratzahlen
Quadratzahlen sind auch dann interessant, wenn man von ihrer Beziehung zu Dreieck- und Rechteckzahlen einmal absieht. Das Quadrat jeder Zahl, die höher ist als 1, ist ein Vielfaches von 4, wenn es gerade ist, oder ein Vielfaches von 8 plus 1, wenn es ungerade ist.
Beispiel:
| Gerade | Ungerade |
| 22 = 4 = 1 x 4 | 32 = 9 = 8 + 1 |
| 42 = 16 = 4 x 4 | 52 = 25 = (3 x 8) + 1 |
| 62 = 36 = 9 x 4 | 72= 49 = (6 x 8) + 1 |
Überraschenderweise können wir auch das Quadrat irgendeiner Zahl finden, indem wir die gleiche Anzahl aufeinanderfolgender ungerader Zahlen, bei 1 beginnend, addieren. Und wenn wir 1 zu der letzten addierten Zahl hinzurechnen, erhalten wir das Doppelte der Zahl, die wir quadrieren.
Beispiel:
42 = 1 + 3 + 5 + 7 + = 16 und 7 + 1 = 8 = 2 x 4
62 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 und 11 + 1 = 2 x 6
Quadrate fortlaufender Zahlen haben eine unerwartete Beziehung. Ihre Endziffern bilden das Palindrom 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, gefolgt von einer Null, das sich dann unendlich wiederholt.
Beispiel:
| 12 = 1 | 42 = 16 | 72 = 49 | 102 = 100 |
| 22 = 4 | 52 = 25 | 82 = 64 | 112 = 121 |
| 32 = 9 | 62 = 36 | 92 = 81 | und so weiter |
Quadrate enden nie mit 2, 3, 7 oder 8. Außerdem enden die Quadrate aller zwei Zahlen, deren Endziffern addiert 10 ergeben, stets mit der gleichen Ziffer.
Beispiel:
| 22 = 4 | 332 = 1089 |
| 82 = 64 | 972 = 9409 |
Quadrate können auch gebildet werden, indem man die Kubikzahlen fortlaufender Nummern, mit 1 beginnend, addiert.
Beispiel:
13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102